Circuits magnétiquement couplés

Des circuits magnétiquements couplés sont des circuits électriques bobinés autour d'un même circuit magnétique. Par exemple deux enroulement d'un transformateur ou d'une machine électrique.

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Dispositif électromagnétique - Traitement de l'énergie électrique - Électrotechnique

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Des circuits magnétiquements couplés sont des circuits électriques bobinés autour d'un même circuit magnétique. Par exemple deux enroulement d'un transformateur ou d'une machine électrique. On abrège fréquemment l'expression en Circuits couplés

Paramètres d'un ensemble de deux circuits magnétiquement couplés

Équations et schémas

On représente généralement deux bobines magnétiquement couplées à l'aide du montage suivant :

Circuits couplés 1.png

avec $L_1 \,$ et $L_2 \,$ les inductances propres de chacune des bobines et $M \,$ : l'inductance mutuelle.

Cette modélisation occulte complètement les non-linéarités, mais elle sert à faire une étude analytique approchée (et fréquemment suffisante) de nombreux systèmes de l'électrotechnique, tel que les machines électriques et les transformateurs. Les résistances des bobines ne sont pas non plus représentées, car elles ne modifient pas les démonstrations ci dessous.

Pour des raisons pratiques et/ou historiques, c'est le montage ci-dessous qui est utilisé :

Circuits couplés 2.png

Ce deuxième montage ne fait plus apparaître l'inductance mutuelle et il comporte quatre paramètres au lieu de trois. Conventionnellement le circuit d'indice 1 est nommé circuit primaire et celui d'indice 2 circuit secondaire, en référence aux transformateurs.

$l_1 \,$ et $l_2 \,$ sont nommées inductances de fuite primaire et secondaire
$L_{\mu} \,$ est l'inductance de magnétisation ramenée au primaire.
$a \,$ est le rapport de transformation du transformateur parfait introduit dans cette modélisation.

Une analyse mathématique des deux montages sert à montrer qu'ils sont complètement équivalents si les relations suivantes sont vérifiées :

$L_{\mu} = \frac{M}{a} \,$

$l_1 = L_1 - \frac{M}{a} \,$

$l_2 = L_2 - a M \,$

Modèles usuels des circuits couplés

Modèle à fuites totalisées au primaire

Modèle à fuites primaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement secondaire. Le paramètre choisi est :

$l_2 = 0 = L_2 - a M \,$

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

$K_p = a = \frac{L_2}{ M} \,$

$L_p =L_{\mu} = \frac{Mˆ2}{L_2} \,$

$L_{fp} = L_1 - L_{\mu} =L_1- \frac{Mˆ2}{L_2} = \sigma L_1\,$

avec : $\sigma = 1- \frac{Mˆ2}{L_1L_2} \,$ : cœfficient de fuite ou cœfficient de Blondel.

Ce modèle est spécifiquement intéressant quand on s'intéresse aux effets de s inductances de fuite du circuit couplé sur l'alimentation du montage. Par exemple pour le dimensionnement du transformateur dans les alimentations à découpage de type fly-back.

Modèle à fuites totalisées au secondaire

Modèle à fuites secondaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement primaire. Le paramètre choisi est :

$l_1 = 0 = L_1 - \frac{M}{a} \,$

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

$K_s = a = \frac{M}{ L_1} \,$

$L_{\mu} = L_1 \,$

$l_{fs} =L_2- \frac{Mˆ2}{L_1} = \sigma L_2\,$

Pour des raisons de commodité, il est habituel de ramener l'impédance de fuite du côté primaire :

Modèle à fuites secondaires 2.png

Avec : $N_s \,$ : impédance ramenée au primaire de l'inductance de fuite secondaire $l_{fs} \,$ . Cette impédance ramenée ne doit pâs être confondue avec l'impédance de fuite primaire du précédent modèle.

$N_s = \frac{l_{fs}}{K_sˆ2} = L_1 \cdot (\frac{L_1L_2}{Mˆ2} - 1)= L_1 \cdot \frac{\sigma}{1-\sigma}$

Ce modèle est particulièrement pratique pour calculer l'influence du circuit magnétique sur l'alimentation électrique lorsque celle-ci alimente le primaire. On l'utilise par exemple pour modéliser la machine asynchrone

Modèle à fuites scindées

Ce modèle est fréquemment utilisé pour les transformateurs.

On pose $a = m = \frac{n_2}{n_1} \,$ égal au rapport du nombre de spires de la bobine 2 par le nombre de spires de la bobine 1.

Modèle à fuites séparées.png

On obtient :

$L_{\mu} = \frac{M}{m} \,$

$l_1 = L_1 - \frac{M}{m} \,$

$l_2 = L_2 - m M \,$

On peut aussi ramener l'inductance de magnétisation au secondaire et obtenir le modèle équivalent suivant :

Modèle à fuites séparées 2.png

avec : $L_{2\mu} = \frac{L_{1\mu}}{mˆ2} \,$

Modèle en T

On pose $a = 1 \,$ ce qui revient à faire disparaître le transformateur du modèle :

Modèle en T.png

Attention ! : Ce modèle fonctionne idéalement d'un point de vue mathématique mais il est quelquefois illusoire de vouloir trouver un sens physique aux trois dipôles qui le forme.

Par exemple les valeurs de $L_1 -M \,$ ou de $L_2 -M \,$ peuvent être négatives, ce qui revient à dire, en régime sinusoïdal de courant, que l'inductance se comporte comme un condensateur !

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